Question

16．已知函数f（x）=cos（2x-$\frac{2π}{3}$）-cos2x（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）△ABC内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f（$\frac{B}{2}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1，c=$\sqrt{3}$，且a＞b，求角B和角C．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数的恒等变换，把f（x）化为Asin（ωx+φ）的形式，求出它的最小正周期与递增区间；
（Ⅱ）由f（$\frac{B}{2}$）=求出B的值，再由正弦定理求出A、C的值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=cos（2x-$\frac{2π}{3}$）-cos2x
=cos2x•（-$\frac{1}{2}$）+sin2x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$-cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{3}{2}$cos2x
=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$•sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）
=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴故函数f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
则-$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{12}$+kπ，k∈Z；
∴f（x）的递增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]（k∈Z ）；
（Ⅱ）f（$\frac{B}{2}$）=$\sqrt{3}$sin（B-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sin（B-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$．
∵0＜B＜π，∴-$\frac{π}{3}$＜B-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴B-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{6}$，即B=$\frac{π}{6}$．
由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{1}{sin\frac{π}{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{sinC}$，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$；
当C=$\frac{π}{3}$时，A=$\frac{π}{2}$；
当C=$\frac{2π}{3}$时，A=$\frac{π}{6}$（不合题意，舍）；
综上，B=$\frac{π}{6}$，C=$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题目．