Question

8．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，且过点C（2，1），点C关于原点O的对称点为点D．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）平行于CD的直线l交椭圆E于M，N两点，求△CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （I）通过长轴长是短轴长的两倍可知a=2b，再将点C（2，1）代入椭圆方程，进而计算可得结论；
（II）通过CD的斜率为$\frac{1}{2}$可设直线l方程为$y=\frac{1}{2}x+t$，并与椭圆方程联立，利用韦达定理、两点间距离公式、点到直线的距离公式及三角形面积公式、基本不等式计算即得结论．

解答 解：（I）∵长轴长是短轴长的两倍，即2a=2•2b，
∴a=2b，
又∵椭圆E过点C（2，1），
∴$\frac{2^2}{{4{b^2}}}+\frac{1}{b^2}=1$，
∴$b=\sqrt{2}，a=2\sqrt{2}$，
∴椭圆E的方程为：$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$；
（II）依题意，CD的斜率为$\frac{1}{2}$，
∵CD平行于直线l，
∴设直线l方程为$y=\frac{1}{2}x+t$，
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+t}\\{\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$，消去y、整理得：x²+2tx+（2t²-4）=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则$\left\{{\begin{array}{l}{△=4{t^2}-4（2{t^2}-4）＞0}\\{{x_1}+{x_2}=-2{t^2}}\\{{x_1}{x_2}=2{t^2}-4}\end{array}}\right.$，
∴$|{MN}|=\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}=\sqrt{1+{{（\frac{1}{2}）}^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{5}\sqrt{4-{t^2}}（-2＜t＜2）$，
点C到直线l的距离$d=\frac{|t|}{{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}}=\frac{2|t|}{{\sqrt{5}}}$，
∴$S=\frac{1}{2}|{MN}|•d=\frac{1}{2}•\sqrt{5}•\sqrt{4-{t^2}}•\frac{2|t|}{{\sqrt{5}}}=|t|\sqrt{4-{t^2}}=\sqrt{{t^2}（4-{t^2}）}≤\frac{4}{2}=2$，
当且仅当t²=4-t²即t²=2时取等号．
∴△CMN面积的最大值为2，此时直线l的方程$y=\frac{1}{2}x±\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．