Question

某公司生产的某批产品的销售量万件（生产量与销售量相等）与促销费用万元满足（其中为正常数）.已知生产该批产品还要投入成本万元（不包含促销费用），产品的销售价格定为元/件.

(1)将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；

(2)当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？

Answer 1

(1) (2)当时，促销费用投入2万元时，该公司的利润最大；

当时，促销费用投入万元时，该公司的利润最大

【解析】

试题分析：(1)根据利润等于销售额减去促销费用及投入成本，列出函数关系式： 再将代入化简得 (2)利用基本不等式求最值，要注意其等号取法，本题需结合定义域进行讨论：当且仅当时，取等号.当时，促销费用投入2万元时，该公司的利润最大；当时，函数在上单调递增，促销费用投入万元时，该公司的利润最大

试题解析：(1)由题意得： 3分

将代入化简得

5分

(2)

当且仅当时，取等号 8分

当时，促销费用投入2万元时，该公司的利润最大 9分

当时，，此时函数在上单调递增

所以当时，函数在上单调递增 11分

所以时，函数有最大值，即促销费用投入万元时，该公司的利润最大 12分

综上，当时，促销费用投入2万元时，该公司的利润最大；

当时，促销费用投入万元时，该公司的利润最大 14分

考点：函数实际应用，利用基本不等式及导数求最值