Question

【题目】已知椭圆的离心率为,原点到椭圆的上顶点与右顶点连线的距离为.

（1）求椭圆的标准方程;

（2）斜率存在且不为零的直线与椭圆相交于,两点,若线段的垂直平分线的纵截距为-1,求直线纵截距的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由离心率为，可以得到的关系，由原点到椭圆的上顶点与右顶点连线的距离为，可以得到的关系，结合，求出，写出椭圆标准方程；

（2）设出斜率存在且不为零的直线的直线方程，与椭圆方程联立，得到一个关于的一元二次方程，由根的判断式大于零，得到一个不等式，设中点，利用根与系数关系可以求出坐标，结合已知，通过斜率公式，可以得到，结合求出的不等式，可以求出直线纵截距的取值范围.

解：（1）原点到椭圆上顶点与右顶点连线的距离为.

又离心率，又因为，

解得，，所以椭圆方程为．

（2）设，直线的方程为：，

将代入得：

，

于是得：

且，

设中点，则，

因为线段的垂直平分线的纵截距为，所以线段的垂直平分线过点，

所以，即，

因为，所以， 所以，

代入得，

所以.