(本题满分12分)如图,在三棱锥中,
底面
,点
,
分别在棱
上,且
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)当为
的中点时,求
与平面
所成的角的正弦;
(Ⅲ)是否存在点使得二面角
为直二面角?并说明理由.
(Ⅰ)见解析(Ⅱ)(Ⅲ)存在点E使得二面角
是直二面角.
解析试题分析:以A为原煤点建立空间直角坐标系,设
,由已知可得
.
(Ⅰ)∵,
∴,∴BC⊥AP.又∵
,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴E为PC的中点,∴,
∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,
∵,∴
.
∴与平面
所成的角的大小
.
(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE平面PAC,PE
平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,∴∠AEP为二面角
的平面角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴.∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时
,故存在点E使得二面角
是直二面角.
考点:平行垂直的证明及求线面角,二面角
点评:空间向量在解决立体几何中的用处非常广泛,可使题目简化
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,某几何体的下部分是长为8,宽为6,高为3的长方体,上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥,求:
(1)该几何体的体积;
(2)该几何体的表面积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分13分)如图,圆柱内有一个三棱柱
,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形,且AB是圆O直径.
(Ⅰ)证明:平面平面
;
(Ⅱ)设,在圆柱
内随机选取一点,记该点取自于三棱柱
内的概率为
.
(ⅰ)当点C在圆周上运动时,求的最大值;
(ii)记平面与平面
所成的角为
,当
取最大值时,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知正方形ABCD的边长为1,FD⊥平面ABCD,EB⊥平面ABCD,FD=BE=1,M为BC边上的动点.试探究点M的位置,使F—AE—M为直二面角
.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题10分)如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出
(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;
(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=5,∠BAD=90º ,
∠BAA1=∠DAA1=60º ,求AC1的长。
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