Question

已知双曲线

y2

3

-x²=1与抛物线x²=ay有相同的焦点F，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（　　）

• A、2

  13

• B、4

  2

• C、3

  13

• D、4

  6

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用抛物线的定义由|AF|=4得到A到准线的距离为4，即可求出点A的坐标，根据：“|PA|+|PO|”最小相当于在准线上找一点，使得它到两个定点的距离之和最小，最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值．

解答： 解：双曲线

y2

3

-x²=1的焦点为（0，±2），
∵双曲线

y2

3

-x²=1与抛物线x²=ay有相同的焦点F，∴a=±8．
∵|AF|=4，由抛物线的定义得，
∴A到准线的距离为4，即A点的纵坐标为-2（或2），
又点A在抛物线上，不妨取A的坐标A（4，-2）；
坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（0，4）
则|PA|+|PO|的最小值为：|AB|=2

13

．
故选：A．

点评：此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决最小值问题，灵活运用点到点的距离、对称性化简求值，是一道中档题．