Question

【题目】定义在R上的函数f（x）＝|x2﹣ax|（a∈R），设g（x）＝f（x+l）﹣f（x）.

（1）若y＝g（x）为奇函数，求a的值：

（2）设h（x），x∈（0，+∞）

①若a≤0，证明：h（x）＞2：

②若h（x）的最小值为﹣1，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）a＝1（2）①证明见解析②（1，+∞）

【解析】

（1）根据函数是定义在上的奇函数，令，即可求出的值；

（2）①先去绝对值，再把分离常数即可证明；

②根据的最小值为，分和两种情况讨论即可得出的取值范围.

（1）∵g（x）＝|（x+1）2﹣a（x+1）|﹣|x2﹣ax|，

一方面，由g（0）＝0，得|1﹣a|＝0，a＝1，

另一方面，当a＝1时，g（x）＝|（x+1）2﹣a（x+1）|﹣|x2﹣x|＝|x2+x|﹣|x2﹣x|，

所以，g（﹣x）＝|x2﹣x|﹣|x2+x|＝﹣g（x），即g（x）是奇函数.

综上可知a＝1.

（2）（i）∵a≤0，x＞0，x+1＞0，

所以h（x）

2，

∵1﹣a＞0，x＞0，

∴h（x）＞2.

（ii）由（i）知，a＞0，

情形1：a∈（0，1]，此时

当x∈（a，+∞）时，有2，

当x∈（0，a]时，有h（x），

由上可知此时h（x）＞0不合题意.

情形2：a∈（1，+∞）时，

当x∈（0，a﹣1）时，有h（x），

当x∈[a﹣1，a）时，有h（x）

当x∈[a，+∞）时，有h（x），

从而可知此时h（x）的最小值是﹣1，

综上所述，所求a的取值范围为（1，+∞）.