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已知函数,且在点
处的切线方程为.
(1)求的值;
(2)若函数在区间内有且仅有一个极值点,求的取值范围;  
(3)设为两曲线的交点,且两曲线在交点处的切线分别为.若取,试判断当直线轴围成等腰三角形时值的个数并说明理由.
(1) ;(2) ;(3)2个

试题分析:(1)由函数,在点处的切线方程为.所以对函数求导,根据斜率为1以及过点(1,0)两个条件即可求出结论.
(2)由函数,对函数求导,并令可解得两个根,由于函数在区间内有且仅有一个极值点,的根在内有且仅有一个根.所以通过分类讨论即可求的取值范围.
(3)两曲线在交点处的切线分别为.若取,当直线轴围成等腰三角形时.通过求导求出两函数的切线的斜率,即可得到这两斜率不可能是相等,所以依题意可得到两切线倾斜角有两倍的关系,再通过解方程和函数的单调性的判断即可得到结论.
(1),∴,又
.                                              3分
(2)


.                                          5分
,当且仅当时,函数在区间内有且仅有一个极值点.                                                 6分
,即,当;当,函数有极大值点
,即时,当;当,函数有极大值点
综上,的取值范围是.              8分
(3)当时,设两切线的倾斜角分别为

, ∴均为锐角,                        9分
,即时,若直线能与轴围成等腰三角形,则;当,即时,若直线能与轴围成等腰三角形,则
得,
,即
此方程有唯一解,直线能与轴围成一个等腰三角形.  11分
得,
,即

时,,∴单调递增,则单调递
增,由于,且,所以,则
即方程有唯一解,直线能与轴围成一个等腰三角形. 
因此,当时,有两处符合题意,所以直线能与轴围成等腰三角形时,值的个数
有2个.                                                   14分
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