试题分析:(1)由函数
,在点
处的切线方程为
.所以对函数求导,根据斜率为1以及过点(1,0)两个条件即可求出结论.
(2)由函数
,对函数
求导,并令
可解得两个根,由于函数
在区间
内有且仅有一个极值点,
的根在
内有且仅有一个根.所以通过分类讨论即可求
的取值范围.
(3)两曲线在交点
处的切线分别为
.若取
,当直线
与
轴围成等腰三角形时.通过求导求出两函数的切线的斜率,即可得到这两斜率不可能是相等,所以依题意可得到两切线倾斜角有两倍的关系,再通过解方程和函数的单调性的判断即可得到结论.
(1)
,∴
,又
,
∴
. 3分
(2)
;
∴
由
得
,
∴
或
. 5分
∵
,当且仅当
或
时,函数
在区间
内有且仅有一个极值点. 6分
若
,即
,当
时
;当
时
,函数
有极大值点
,
若
,即
时,当
时
;当
时
,函数
有极大值点
,
综上,
的取值范围是
. 8分
(3)当
时,设两切线
的倾斜角分别为
,
则
,
∵
, ∴
均为锐角, 9分
当
,即
时,若直线
能与
轴围成等腰三角形,则
;当
,即
时,若直线
能与
轴围成等腰三角形,则
.
由
得,
,
得
,即
,
此方程有唯一解
,直线
能与
轴围成一个等腰三角形. 11分
由
得,
,
得
,即
,
设
,
,
当
时,
,∴
在
单调递增,则
在
单调递
增,由于
,且
,所以
,则
,
即方程
在
有唯一解,直线
能与
轴围成一个等腰三角形.
因此,当
时,有两处符合题意,所以直线
能与
轴围成等腰三角形时,
值的个数
有2个. 14分