Question

已知圆的方程 x²+y²-4x+2y+1=0，过点P（3，2）向圆引两条切线，切点为P₁，P₂．求过P₁、P₂两点且到Q（-5，0）的切线长

6

的圆的方程？

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：由题意求出圆心坐标和半径，由切线的性质得P₁、P₂在以PC为直径的圆上，求出此圆的方程，将两圆方程相减得公共弦P₁P₂所在直线方程，设过P₁、P₂两点圆的方程是：x²+y²-4x+2y+1+λ（x+3y-4）=0，根据切线长公式列出方程，求出λ的值，代入圆的方程化简即可．

解答： 解：由x²+y²-4x+2y+1=0得，（x-2）²+（y+1）²=4，
所以圆心C（2，-1），半径为2，
因为过点P（3，2）向圆引两条切线，切点为P₁，P₂，
所以P₁P⊥P₁C，P₂P⊥P₂C，即P₁、P₂在以PC为直径的圆上，
又点P（3，2），则PC的中点A为（

5

2

，

1

2

），|PC|=

10

，
则以PC为直径的圆的方程是(x-

5

2

)2+(y-

1

2

)2=(

10

2

)2，
即x²+y²-5x-y+4=0，①
又x²+y²-4x+2y+1=0，②
①-②得，-x-3y+3=0，则P₁P₂所在直线方程是：x+3y-4=0，
设过P₁、P₂两点圆的方程是：x²+y²-4x+2y+1+λ（x+3y-4）=0
即x²+y²+（λ-4）x+（2+3λ）y+1-4λ=0，③
所以圆心坐标是（-

λ-4

2

，-

3λ+2

2

），半径的平方r²=4λ-1+(

λ-4

2

)2+(

3λ+2

2

)2，
因为过Q（-5，0）的切线长

6

，
所以6+4λ-1+(

λ-4

2

)2+(

3λ+2

2

)2=(-5+

λ-4

2

)2+(-

3λ+2

2

)2，
化简解得，λ=

40

9

，代入③得，x²+y²+

4

9

x+

46

3

y-

151

9

=0，
所以所求的圆的方程是：x²+y²+

4

9

x+

46

3

y-

151

9

=0．

点评：本题考查圆的切线的性质，两圆相交时公共弦所在直线方程，圆系方程的灵活应用，以及切线长公式，考查化简计算能力．