Question

17．已知集合A={x|$（\frac{1}{2}）^{{x}^{2}-5x+4}$≥1}，B={x|x²-2ax+a+2≤0}，若B⊆A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由$（\frac{1}{2}）^{{x}^{2}-5x+4}≥1$得x²-5x+4≤0，从而得到A={x|1≤a≤4}，根据B⊆A可分B=∅，B≠∅两种情况：可设f（x）=x²-2ax+a+2，B=∅时，便有△＜0，从而可得到a的一个范围；B≠∅时，便有$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≥0}\\{f（4）≥0}\\{1≤a≤4}\end{array}\right.$，这样对求得的两种情况下的a的范围求并集即得实数a的取值范围．

解答 解：A={x|x²-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}；
∵B⊆A，设f（x）=x²-2ax+a+2，则：
①若B=∅，则△=4a²-4（a+2）＜0；
解得-1＜a＜2；
②若B≠∅，则a满足：
$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=3-a≥0}\\{f（4）=18-7a≥0}\\{1≤a≤4}\end{array}\right.$；
∴解得$1≤a≤\frac{18}{7}$；
综上得$-1＜a≤\frac{18}{7}$；
∴实数a的取值范围为（-1，$\frac{18}{7}$]．

点评 考查描述法表示集合，指数函数的单调性，以及解一元二次不等式，子集的概念，可结合二次函数f（x）的图象，不要漏了B=∅的情况．