Question

7．过抛物线y²=4x焦点的直线与抛物线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，如果x₁+x₂=6，求以线段AB为直径的圆的方程．

Answer 1

分析 设过抛物线y²=4x焦点F（1，0）的直线为y=k（x-1），代入抛物线方程，运用韦达定理，可得k，由中点的横坐标可得纵坐标，再由抛物线的定义，可得圆的半径，即可得到圆的方程．

解答 解：设过抛物线y²=4x焦点F（1，0）的直线为y=k（x-1），
代入抛物线方程，可得k²（x-1）²-4x=0，
即有k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
即为x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，
由x₁+x₂=6，可得k=±1，
即有直线为y=±（x-1），
则AB的中点为（3，±2），
由抛物线的定义可得|AB|=x₁+x₂+2=8，
即有半径为4，
则所求圆的方程为（x-3）²+（y±2）²=16．

点评 本题考查抛物线的定义和方程的运用，注意直线和方程的联立，运用韦达定理，同时考查圆的方程的运用，属于中档题．