Question

6．已知f（x）=$\sqrt{1+x}$，当π＜θ＜$\frac{5π}{4}$时，f（sin2θ）-$\sqrt{2}$f（cos2θ）=cosθ-sinθ．

Answer 1

分析 由已知中f（x）=$\sqrt{1+x}$，当π＜θ＜$\frac{5π}{4}$时，将x=sin2θ和x=cos2θ代入，结合二倍角公式，及$\sqrt{{x}^{2}}=\left|x\right|$化简可得答案．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{1+x}$，π＜θ＜$\frac{5π}{4}$，
∴f（sin2θ）-$\sqrt{2}$f（cos2θ）=$\sqrt{1+sin2θ}$-$\sqrt{2}$$\sqrt{1+cos2θ}$=$\sqrt{（sinθ+cosθ）^{2}}$-$\sqrt{2}$$\sqrt{2{cos}^{2}θ}$=|sinθ+cosθ|-2|cosθ|=-sinθ-cosθ+2cosθ=cosθ-sinθ，
故答案为：cosθ-sinθ

点评 本题考查的知识点是函数求值，二倍角公式，三角函数的符号，难度中档．