Question

【题目】甲、乙两位同学从A、B、C、D…共n（n≥2，n∈N+）所高校中，任选两所参加自主招生考试（并且只能选两所高校），但同学甲特别喜欢A高校，他除选A高校外，再在余下的n﹣1所中随机选1所；同学乙对n所高校没有偏爱，在n所高校中随机选2所．若甲同学未选中D高校且乙选中D高校的概率为 ．
（1）求自主招生的高校数n；
（2）记X为甲、乙两名同学中未参加D高校自主招生考试的人数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得甲同学选中D高校的概率为 ，

乙同学选中D高校的概率p2= = ，

∴甲同学未选中D高校且乙同学选取中D高校的概率为：

p=（1﹣p1）p2=（1﹣ ）× = ，

整理，得 ﹣23n+40=0，

∵n≥2，n∈N*，解得n=5，故自主招生的高校数为5所

（2）解：X的所有可能取值为0，1，2，

P（X=0）= = ，

P（X=1）= ，

P（X=2）= ，

∴X的分布列为：

X	0	2	3
P

EX= = ．

【解析】（1）由已知得甲同学选中D高校的概率为 ，乙同学选中D高校的概率p2= = ，甲同学未选中D高校且乙同学选取中D高校的概率为p=（1﹣p1）p2=（1﹣ ）× = ，由此能求出自主招生的高校数n．（2）X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．