【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,点E,F分别为AB和PD中点. (Ⅰ)求证:直线AF∥平面PEC;
(Ⅱ)求PC与平面PAB所成角的正弦值.
【答案】解:(Ⅰ)证明:作FM∥CD交PC于M. ∵点F为PD中点,
∴ .
∵点E为AB的中点.
∴ ,
又AE∥FM,
∴四边形AEMF为平行四边形,
∴AF∥EM,
∵AF平面PEC,EM平面PEC,
∴直线AF∥平面PEC.
(Ⅱ)已知∠DAB=60°,
进一步求得:DE⊥DC,
则:建立空间直角坐标系,
则 P(0,0,1),C(0,1,0),E( ,0,0),
A( ,﹣ ,0),B( , ,0).
所以: , .
设平面PAB的一个法向量为: ,.
∵ ,
则: ,
解得: ,
所以平面PAB的法向量为:
∵ ,
∴设向量 和 的夹角为θ,
∴cosθ= ,
∴PC平面PAB所成角的正弦值为 .
【解析】(Ⅰ)首先利用中点引出中位线,进一步得到线线平行,再利用线面平行的判定定理得到结论.(Ⅱ)根据直线间的两两垂直,尽力空间直角坐标系,再求出平面PAB的法向量,最后利用向量的数量积求出线面的夹角的正弦值.
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行;已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则即可以解答此题.
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【题目】甲、乙两位同学从A、B、C、D…共n(n≥2,n∈N+)所高校中,任选两所参加自主招生考试(并且只能选两所高校),但同学甲特别喜欢A高校,他除选A高校外,再在余下的n﹣1所中随机选1所;同学乙对n所高校没有偏爱,在n所高校中随机选2所.若甲同学未选中D高校且乙选中D高校的概率为 .
(1)求自主招生的高校数n;
(2)记X为甲、乙两名同学中未参加D高校自主招生考试的人数,求X的分布列和数学期望.
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【题目】函数y= cos( ﹣2x)的单调递增区间是( )
A.[kπ﹣ ,kπ+ ](k∈Z)
B.[kπ﹣ ,kπ)(k∈Z)
C.[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z)
D.[kπ+ ,kπ+π](k∈Z)
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【题目】已知函数 ,g(x)=x+lnx,其中a>0.
(1)若x=1是函数h(x)=f(x)+g(x)的极值点,求实数a的值;
(2)若对任意的x1 , x2∈[1,e](e为自然对数的底数)都有f(x1)≥g(x2)成立,求实数a的取值范围.
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【题目】如图,斜率为1的直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,与抛物线交于两点A、B,M为抛物线 上的动点.
(1)若|AB|=8,求抛物线的方程;
(2)求S△ABM的最大值.
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【题目】已知函数f(x)=x﹣(a+1)lnx﹣ ,其中a∈R.
(Ⅰ)求证:当a=1时,函数y=f(x)没有极值点;
(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调增区间.
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