【题目】已知函数f(x)=|x-a|-x(a>0).
(1)若a=3,解关于x的不等式f(x)<0;
(2)若对于任意的实数x,不等式f(x)-f(x+a)<a2+恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1){x|2<x<6}(2)(1,+∞)
【解析】试题分析:(Ⅰ)将a的值带入f(x),原不等式等价于﹣x<x-3<
x,解之即可;
(Ⅱ)求出f(x)=|x﹣a|﹣|x|+,原问题等价于|a|<a2,求出a的范围即可.
试题解析:
(1)当a=3时,f(x)=|x-3|-x,即|x-3|-
x<0,原不等式等价于-
<x-3<
,解得2<x<6,故不等式的解集为{x|2<x<6}.
(2)f(x)-f(x+a)=|x-a|-|x|+,
原不等式等价于|x-a|-|x|<a2,
由绝对值三角不等式的性质,
得|x-a|-|x|≤|(x-a)-x|=|a|,
原不等式等价于|a|<a2,
又a>0,∴a<a2,解得a>1.
∴实数a的取值范围为(1,+∞).
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知
是椭圆
上的一点,从原点
向圆
作两条切线,分别交椭圆于点
.
(1)若点在第一象限,且直线
互相垂直,求圆
的方程;
(2)若直线的斜率存在,并记为
,求
的值;
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【题目】在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:
作物产量(kg) | 300 | 500 |
概率 | 0.5 | 0.5 |
作物市场价格(元/kg) | 6 | 10 |
概率 | 0.4 | 0.6 |
(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;
(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.
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【题目】(1)如图(1)所示,椭圆的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上,A、B是椭圆的顶点,P是椭圆上一点,且PF1⊥x轴,PF2∥AB,求此椭圆的离心率;
(2)如图(2)所示,双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,求此双曲线的离心率.
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【题目】已知点F为抛物线C:x2=2py (p>0) 的焦点,点A(m,3)在抛物线C上,且|AF|=5,若点P是抛物线C上的一个动点,设点P到直线的距离为
,设点P到直线
的距离为
.
(1)求抛物线C的方程;
(2) 求的最小值;
(3)求的最小值.
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【题目】某种水果按照肉质和口感可分为四类:标准果,优质果,精品果,礼品果,某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个(每个水果的重量相当),利用水果的等级分类标准得到的数据如下:
等级 | 标准果 | 优质果 | 精品果 | 礼品果 |
个数 | 10 | 30 | 40 | 20 |
(1)用样本估计总体,果园老板提出两种购销方案给采购商参考:
方案①:不分类卖出,单价为20元/.
方案②:分类卖出,分类后的水果售价如下表:
等级 | 标准果 | 优质果 | 精品果 | 礼品果 |
售价(元/ | 16 | 18 | 22 | 24 |
从采购商的角度考虑,应该采用哪种方案较好?并说明理由.
(2)从这100个水果中用分层抽样的方法抽取10个,再从抽取的10个水果中随机抽取2个,求抽取的2个水果不是同一级别水果的概率.
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