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    【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知是椭圆上的一点，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于点．

    （1）若点在第一象限，且直线互相垂直，求圆的方程；

    （2）若直线的斜率存在，并记为，求的值；

    【答案】（1）；（2）.

    【解析】

    试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、椭圆中的定值问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，利用圆的半径、直线与圆相切，得到，结合点在椭圆上，解出，从而得到圆的方程；第二问，由于直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径得到，再根据解出的值；

    试题解析：（1）由圆的方程知圆的半径，因为直线互相垂直，且和圆相切，所以，即

    ①

    又点在椭圆上，所以 ②

    联立①②，解得，

    所以，所求圆的方程为

    ．

    （2）因为直线和都与圆相切，所以，，

    化简得，

    因为点在椭圆上，所以，即，

    所以．

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    【题目】已知是奇函数．

    （1）求实数的值；

    （2）求函数在上的值域；

    （3）令，求不等式的解集．

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    【题目】已知椭圆，三点中恰有二点在椭圆上，且离心率为。

    （1）求椭圆的方程；

    （2）设为椭圆上任一点， 为椭圆的左右顶点， 为中点，求证：直线与直线它们的斜率之积为定值；

    （3）若椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于，求证：直线与直线斜率之和为定值。

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    【题目】某工厂生产部门随机抽测生产某种零件的工人的日加工零件数（单位：件），其中A车间13人，B车间12人，获得数据如下：

    根据上述数据得到样本的频率分布表如下：

    分组

    频数

    频率

    [25，30]

    3

    0.12

    （30，35]

    5

    0.20

    （35，40]

    8

    0.32

    （40，45]

    n1

    f1

    （45，50]

    n2

    f2

    （1）确定样本频率分布表中n1、n2、f1和f2的值；

    （2）现从日加工零件数落在（40，45]的工人中随机选取两个人，求这两个人中至少有一个来自B车间的概率．

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    【题目】已知函数.

    （1）当时，求函数的单调区间；

    （2）是否存在实数，使得至少有一个，使成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.

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    【题目】已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是（ ）

    A. B. C. D.

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    【题目】用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．

    （Ⅰ）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；

    （Ⅱ）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；

    （Ⅲ）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．

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    【题目】已知函数f(x)＝|x－a|－x(a＞0)．

    (1)若a＝3，解关于x的不等式f(x)＜0；

    (2)若对于任意的实数x，不等式f(x)－f(x＋a)＜a2＋恒成立，求实数a的取值范围．

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    【题目】已知函数，，

    （1）求不等式的解集；

    （2）若对一切，均有成立，求实数的取值范围．

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