Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）是否存在实数，使得至少有一个，使成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1)单调递增区间为和，单调减区间为；(2)答案见解析.

【解析】试题分析： 求得函数f（x）的定义域，求导函数，对a讨论，利用导数的正负，即可确定函数f（x）的单调区间；

（2）先考虑“至少有一个，使成立”的否定“， 恒成立”.即可转化为a+（a+1）xlnx≥0恒成立，令φ（x）=a+（a+1）xlnx，则只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可．

试题解析：

（1）函数的定义域为，

1）当时，由得， 或，由得，

故函数的单调递增区间为和，单调减区间为

2）当时， ， 的单调增区间为

（2）先考虑“至少有一个，使成立”的否定“， 恒成立”.

即可转化为恒成立.

令，则只需在恒成立即可，

，

当时，在时， ，在时，

的最小值为，由得，

故当时， 恒成立，

当时， ， 在不能恒成立，

当时，取，有， 在不能恒成立，

综上所述，即时，至少有一个，使成立.