Question

【题目】已知函数 (其中为自然对数的底数).

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）若函数在区间上单调递减，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）(－∞，－ ]和[，＋∞)；（2）.

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，利用导函数的符号，求解函数的单调增区间即可．（2）利用函数的导数，导函数小于0，分离变量，构造函数利用导数求解最值即可得到结果．

试题解析：

(1)当m＝－2时，f(x)＝(x2－2x)ex，

f′(x)＝(2x－2)ex＋(x2－2x)ex＝(x2－2)ex，

令f′(x)≥0，即x2－2≥0，解得x≤－或x≥.

所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－]和[，＋∞)

(2)依题意，f′(x)＝(2x＋m)ex＋(x2＋mx)ex＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex，

因为f′(x)≤0对于x∈[1,3]恒成立，

所以x2＋(m＋2)x＋m≤0，即m≤－＝－(x＋1)＋

令g(x)＝－(x＋1)＋，则g′(x)＝－1－<0恒成立，

所以g(x)在区间[1,3]上单调递减，g(x)min＝g(3)＝－，故m的取值范围是.