Question

【题目】设函数f（x）=﹣ x3+x2+（m2﹣1）x，（x∈R），其中m＞0．
（1）当m=1时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率；
（2）求函数的单调区间与极值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当m=1时，f（x）=﹣ x3+x2，f′（x）=﹣x2+2x，故f′（1）=1．

所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1

（2）解：f′（x）=﹣x2+2x+m2﹣1．

令f′（x）=0，解得x=1﹣m，或x=1+m．

因为m＞0，所以1+m＞1﹣m．

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（﹣∞，1﹣m）	1﹣m	（1﹣m，1+m）	1+m	（1+m，+∞）
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	递减	极小值	递增	极大值	递减

所以f（x）在（﹣∞，1﹣m），（1+m，+∞）内是减函数，在（1﹣m，1+m）内是增函数．

函数的极小值为：f（1﹣m）=﹣ m3+m2﹣ ；

函数的极大值为：f（1+m）=

【解析】（1）由已知中函数f（x）=﹣ x3+x2+（m2﹣1）x，根据m=1，我们易求出f（1）及f′（1）的值，代入点斜式方程即可得到答案．（2）由已知我们易求出函数的导函数，令导函数值为0，我们则求出导函数的零点，根据m＞0，我们可将函数的定义域分成若干个区间，分别在每个区间上讨论导函数的符号，即可得到函数的单调区间．
【考点精析】通过灵活运用基本求导法则和利用导数研究函数的单调性，掌握若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题．