Question

【题目】已知函数f（x）=（x2+ax+a）e﹣x ， （a为常数，e为自然对数的底）．
（1）当a=0时，求f′（2）；
（2）若f（x）在x=0时取得极小值，试确定a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，设由f（x）的极大值构成的函数为g（a），将a换元为x，试判断曲线y=g（x）是否能与直线3x﹣2y+m=0（m为确定的常数）相切，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：（1）当a=0时，f（x）=x2e﹣x，f'（x）=2xe﹣x﹣x2e﹣x=xe﹣x（2﹣x）．

所以f'（2）=0．

（2）解：f'（x）=（2x+a）e﹣x﹣e﹣x（x2+ax+a）=e﹣x[﹣x2+（2﹣a）x]=﹣e﹣xx[x﹣（2﹣a）]．

令f'（x）=0，得x=0或x=2﹣a．

若2﹣a=0，即a=2时，f'（x）=﹣x2e﹣x≤0恒成立，

此时f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递减，没有极小值；

当2﹣a＞0，即a＜2时，

若x＜0，则f'（x）＜0．

若0＜x＜2﹣a，则f'（x）＞0．

所以x=0是函数f（x）的极小值点．

当2﹣a＜0，即a＞2时，

若x＞0，则f'（x）＜0．

若2﹣a＜x＜0，则f'（x）＞0．

此时x=0是函数f（x）的极大值点．

综上所述，使函数f（x）在x=0时取得极小值的a的取值范围是a＜2．

（3）解：由（2）知当a＜2，且x＞2﹣a时，f'（x）＜0，

因此x=2﹣a是f（x）的极大值点，极大值为f（2﹣a）=（4﹣a）ea﹣2．

所以g（x）=（4﹣x）ex﹣2（x＜2）．

g'（x）=﹣ex﹣2+ex﹣2（4﹣x）=（3﹣x）ex﹣2．

令h（x）=（3﹣x）ex﹣2（x＜2）．

则h'（x）=（2﹣x）ex﹣2＞0恒成立，即h（x）在区间（﹣∞，2）上是增函数．

所以当x＜2时，h（x）＜h（2）=（3﹣2）e2﹣2=1，即恒有g'（x）＜1．

又直线3x﹣2y+m=0的斜率为 ，

所以曲线y=g（x）不能与直线3x﹣2y+m=0相切．

【解析】（1）把a=0代入函数解析式，求导后直接把x=2代入导函数解析式计算（2）求出原函数的导函数，解出导函数的零点为0或2﹣a，分2﹣a=0、2﹣a＞0、2﹣a＜0三种情况讨论导函数在不同区间内的符号，判出极小值点，从而得到使f（x）在x=0时取得极小值的a的取值范围；（3）由（2）中的条件，能够得到x=2﹣a是f（x）的极大值点，求出f（2﹣a），得到g（x），两次求导得到函数g（x）的导数值小于1，而直线3x﹣2y+m=0的斜率为 ，说明曲线y=g（x）与直线3x﹣2y+m=0不可能相切．