Question

已知P为抛物线C：y²=2px（p＞0）的图象上位于第一象限内的一点，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点，过O、F、P三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线的准线的距离为

3

2

．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点N（-4，0）作x轴的垂线l，S、T为l上的两点，满足OS⊥OT，过S及T分别作l的垂线与抛物线C分别相交于A与B，直线AB与x轴的交点为M，求证：M是定点，并求出该点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意得

p

4

-(-

p

2

)=

3

2

，p=2，由此能示出抛物线C的方程．
（Ⅱ）设S(-4，y1)，T(-4，y2)，则

OS

=(-4，y)，

OT

=(-4，y2)，由题意推导出A（4，4），B（4，-4），直线AB过定点（4，0），由此能证明M为定点（4，0）．

解答： （Ⅰ）解：由题意得：点Q的横坐标为

p

4

，
则

p

4

-(-

p

2

)=

3

2

，p=2
所以抛物线C的方程为y²=4x．
（Ⅱ）证明：设S(-4，y1)，T(-4，y2)，则

OS

=(-4，y)，

OT

=(-4，y2)，
所以

OS

•

OT

=16+y1y2=0，即y1y2=-16
由题意A(

y12

4

，y1) ，B(

y22

4

，y2)，
当y₁+y₂=0时，y₁=-y₂，则y₁=4，y₂=-4，
A（4，4），B（4，-4），直线AB过定点（4，0），
当y1+y2≠0时，kAB=

y1-y2

1 4 (y1+y2)(y1-y2)

=

4

y1+y2

直线AB方程为y-y₁=

4

y1+y2

(x-

y 2 1

4

)，令y=0得x=

- y 2 1 -y1y2

4

+

y 2 1

4

=4．
即M（4，0），综上过定点M（4，0）．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查直线与x轴的交点为定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．