Question

对于函数①f（x）=4x+

1

x

-5；②f（x）=|log₂x|-（

1

2

）^x；③f（x）=|x-1|-

x

；命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数；命题乙：f（x）在区间（0，+∞]上恰有两个零点x₁，x₂，且x₁x₂＜1．能使命题甲、乙均为真命题的函数有（　　）个．

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,指数函数的图像与性质,对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：①求出导数，判断在（1，2）的符号，即可判断甲；令f（x）=0，解出方程，即可判断乙．
②运用对数函数、指数函数的单调性，即可判断甲；画出函数y=|log₂x|，和y=（

1

2

）^x的图象，即可判断乙．
③求出导数，判断在（1，2）的符号，即可判断甲；令f（x）=0解出方程，即可判断乙．

解答： 解：①f′（x）=4-

1

x2

在（1，2）上大于0，故f（x）在区间（1，2）上是增函数，故甲成立；令f（x）=0，即4x²-5x+1=0，即x₁=

1

4

，x₂=1，且x₁x₂＜1，故乙成立．故①符合题意．
②∵当x∈（1，2）时，log₂x＞0，
∴f（x）=log₂x-（

1

2

）^x，y=log₂x和y=-（

1

2

）^x在（1，2）上均为增函数，
∴函数f（x）在区间（1，2）上是增函数，故甲成立；
画出函数y=|log₂x|，和y=（

1

2

）^x的图象如图：
可知f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x₁，x₂，
且设x₁＜x₂，
∴|log₂x₁|＞|log₂x₂|，
∴-log₂x₁＞log₂x₂，
即log₂x₁+log₂x₂＜0，∴x₁x₂＜1，
∴函数f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x₁，x₂，
且x₁x₂＜1，故乙成立．
故②符合题意；
③f′（x）=1-

1

2 x

＞0在（1，2）恒成立，故甲成立；
令f（x）=0，则|x-1|=

x

，解得x²-3x+1=0，故f（x）有两个零点，但它们之间为1，
故乙不成立．③不符合题意．
故选C．

点评：本题主要考查函数的单调性和函数的零点问题，考查运用导数判断函数的单调性，以及应用图象和直接解方程判断零点的个数，属于中档题．