Question

【题目】正项数列的前项和为，，且，（为常数）.

（1）求证：数列为等比数列；

（2）若，且，对任意，都有，求的值；

（3）若，是否存在正整数，且，使得，，三项成等比数列？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）不存在，说明见解析.

【解析】

（1）利用，及作差可证;

（2）对进行讨论，结合等比数列求和公式可得；

（3）先假设存在，得出，结合二次函数知识证明，从而得出结论.

（1）因为，所以当时，，

两式相减可得，即；

因为，，所以，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列.

（2）因为，，当时，

当时，

所以.

（3）当时，由（1）可得，假设，，三项成等比数列，

则，，

设，所以，

所以，

记是开口向上的二次函数，对称轴为

且，

所以

综上不存在正整数，且，使得，，三项成等比数列.