Question

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点，
（Ⅰ）求实数a的值；   （Ⅱ）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为
（其中为参数）.
（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求圆上的点到直线的距离的最小值.

Answer 1

（1）选修4-2：矩阵与变换
解：（1）解：（Ⅰ）由=，∴. -------------------3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则矩阵的特征多项式为
 --------------------------5分
令，得矩阵的特征值为与4. （5分）
当时，
∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为;  ---------------------------------6分
当时，
∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为.  ------------------------------7分
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
（Ⅰ）以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系. ----------------1分

----------------2分
所以，该直线的直角坐标方程为：----------------3分
（Ⅱ）圆的普通方程为：----------------4分
圆心到直线的距离---------------5分
所以，圆上的点到直线的距离的最小值为----------------7分

略