Question

16．已知函数f（x）=lg（x+1），g（x）=lg（1-x）．
（Ⅰ）求函数f（x）+g（x）的定义域；
（Ⅱ）判断函数f（x）+g（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅲ）判断函数f（x）+g（x）在区间（0，1）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x+1＞0\\ 1-x＞0\end{array}\right.$ 可得函数f（x）+g（x）的定义域；
（Ⅱ）根据F（-x）=F（x），可得：函数F （x）是偶函数
（Ⅲ）F（x）=f（x）+g（x）在区间（0，1）上是减函数，作差可证明结论．

解答 （Ⅰ）解：要函数有意义，则$\left\{\begin{array}{l}x+1＞0\\ 1-x＞0\end{array}\right.$ （2分）
∴-1＜x＜1，
即函数的定义域为（-1，1）（4分）
（Ⅱ）解：令F（x）=f（x）+g（x）=lg（x+1）+lg（1-x）=lg（1-x²）．
由（1）得函数定义域关于原点对称
又F（-x）=F（x），
∴函数F （x）是偶函数．（6分）
（Ⅲ）解：F（x）=f（x）+g（x）在区间（0，1）上是减函数，
理由如下：
设x₁、x₂∈（0，1），x₁＜x₂，
则$1-{{x}_{1}}^{2}＞1-{{x}_{2}}^{2}＞0$，即$\frac{1-{{x}_{1}}^{2}}{1-{{x}_{2}}^{2}}$＞1，
∴F （x₁）-F（x₂）=lg（1-x₁²）-lg（1-x₂²）=lg$\frac{1-{{x}_{1}}^{2}}{1-{{x}_{2}}^{2}}$＞0．
即F （x₁）＞F（x₂）
∴F（x）=f（x）+g（x）在区间（0，1）上是减函数．（12分）

点评 本题考查的知识点是函数的定义域，函数的奇偶性，函数的单调性，难度中档．