Question

1．如图，由y=0，x=8，y=x²围成的曲边三角形，在曲线OB弧上求一点M，使得过M所作的y=x²的切线PQ与OA，AB围城的三角形PQA的面积最大，并求得最大值．

Answer 1

分析 设 M（x₀，y₀），PQ：y=k（x-x₀）+y₀，求出y=x²的导数，求出切线的斜率，令x=8，y=0求得P，Q的坐标，再求出三角形PQA的面积，再由导数求出最大值．

解答 解：设 M（x₀，y₀），PQ：y=k（x-x₀）+y₀
则 y₀=x₀²，y′=2x|_x=x0=2x₀，
即k=2x₀所以y=2x₀（x-x₀）+y₀
令y=0则x=x₀-$\frac{{y}_{0}}{2{x}_{0}}$=$\frac{1}{2}$x₀，
即P（$\frac{{x}_{0}}{2}$，0）
令x=8则y=16x₀-x₀²，
Q（8，16x₀-x₀²）
S=S_△PAQ=$\frac{1}{2}$（8-$\frac{1}{2}$x₀）（16x₀-x₀²）
=64x₀-8x₀²+$\frac{1}{4}$x₀³，
∴S′=64-16x₀+$\frac{3}{4}$x₀²，
令S'=0，则x₀=16（舍去）或x₀=$\frac{16}{3}$，
在$\frac{16}{3}$处S'左正右负，即为极大值点，也是最大值点．
即当x₀=$\frac{16}{3}$时，S_max=$\frac{4096}{27}$

点评 本题考查导数的几何意义，运用导数求切线方程，求最值，考查运算能力，是一道中档题．