Question

设θ为两个非零向量

a

，

b

的夹角，已知对任意实数t，|

b

+t

a

|的最小值为1（　　）

• A、若|

  a

  |确定，则 θ唯一确定
• B、若|

  b

  |确定，则θ唯一确定
• C、若θ确定，则|

  a

  |唯一确定
• D、若θ确定，则|

  b

  |唯一确定

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：由题意可得，（

b

+t

a

）²=

b

2+2t

a

•

b

+t2

a

2，则令g（t）=

b

2+2t

a

•

b

+t2

a

2，可得判别式△＜0，运用二次函数的性质，求出最小值，结合向量的数量积的性质，即可得到答案．

解答： 解：（

b

+t

a

）²=

b

2+2t

a

•

b

+t2

a

2，
则令g（t）=

b

2+2t

a

•

b

+t2

a

2，
可得判别式△=4（

a

•

b

）²-4

a

2

b

2
=4

a

2

b

2cos2θ-4

a

2

b

2=-4

a

2

b

2sin²θ＜0，
由二次函数的性质，可得g（t）＞0恒成立．
且当t=-

2 a • b

2 a 2

=-

| b |

| a |

cosθ时，g（t）最小，且为1．
即g（-

| b |

| a |

cosθ）=-|

b

|²cos²θ+|

b

|²=|

b

|²sin²θ=1，
故当θ唯一确定时，|

b

|唯一确定．
故选D．

点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，属中档题．