Question

19．已知a，b，c为正实数，且a+b≤6c，$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$≤$\frac{2}{c}$，则$\frac{3a+8b}{c}$的取值范围为（0，48）．

Answer 1

分析 利用已知条件化简不等式，画出约束条件的可行域，然后判断目标函数的范围即可．

解答 解：a，b，c为正实数，且a+b≤6c，$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$≤$\frac{2}{c}$，
可得$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}≤6$，$\frac{2c}{a}+\frac{3c}{b}≤2$，令$x=\frac{a}{c}$，y=$\frac{b}{c}$，
不等式化简为：$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y＞0}\\{x+y≤6}\\{\frac{2}{x}+\frac{3}{y}≤2}\end{array}\right.$，
则z=$\frac{3a+8b}{c}$化为：z=3x+8y，
画出不等式组的可行域如图：
z=3x+8y如图中的红色直线，当z经过原点与a时，分别取得最小值与最大值，
所以3x+8y的最小值为：0，最大值为：48．
所以$\frac{3a+8b}{c}$的取值范围为：（0，48）．
故答案为：（0，48）

点评 本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及转化思想的应用．