Question

14．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的幻方：将1，2，…，9填入方格内，使三行、三列，两条对角线的三个数之和都等于15，如图所示．
一般地，将连续的正整数1，2，…，n²填入n×n个方格中，使得每行，每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n阶幻方．记n阶幻方的对角线上数的和为N_n，例如N₃=15，N₄=34，N₅=65…那么N_n=$\frac{n（{n}^{2}+1）}{2}$．

Answer 1

分析 推导出N_n=$\frac{1}{n}$（1+2+3+4+5+…+n²），由此利用等差数列求和公式能求出结果．

解答 解：根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，
N₃=$\frac{1}{3}$（1+2+3+4+5+6+7+8+9）=15，
N₄=$\frac{1}{4}$（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16）=34，
N₅=$\frac{1}{5}$（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25）=65，
…
∴N_n=$\frac{1}{n}$（1+2+3+4+5+…+n²）=$\frac{1}{n}×\frac{{n}^{2}（1+{n}^{2}）}{2}$=$\frac{n（{n}^{2}+1）}{2}$．
故答案为：$\frac{n（{n}^{2}+1）}{2}$．

点评 本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的前n项和公式，本题解题的关键是应用等差数列的性质来解题．