Question

2．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l过点P（$\sqrt{3}$，0），斜率为-$\sqrt{3}$，曲线C：ρ=$\frac{2}{\sqrt{cos2θ+5si{n}^{2}θ}}$．
（1）写出直线l的一个参数方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由直线l过点P（$\sqrt{3}$，0），斜率为-$\sqrt{3}$，能求出直线l的一个参数方程，曲线C转化为ρ²（cos²θ+4sin²θ）=4，由此能求出曲线C的直角坐标方程．
（2）把$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，得：13t²-4$\sqrt{3}t$-4=0，由此能求出|PA|•|PB|．

解答 （本小题满分10分）
解：（1）∵直线l过点P（$\sqrt{3}$，0），斜率为-$\sqrt{3}$，
∴直线l的一个参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}t}\end{array}\right.$，（t为参数），
∵曲线C：ρ=$\frac{2}{\sqrt{cos2θ+5si{n}^{2}θ}}$，
∴${ρ}^{2}=\frac{4}{cos2θ+5si{n}^{2}θ}$，
即得ρ²（cos²θ+4sin²θ）=4，∴$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
∴曲线C的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）把$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
整理得：13t²-4$\sqrt{3}t$-4=0，设点A，B对应的参数分别为t₁+t₂=-$\frac{4}{13}$，
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{4}{13}$．

点评 本题考查直线的参数方程和曲线的直角坐标方程的求法，考查两线段积的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．