Question

【题目】椭圆 的两个焦点为，点P在椭圆C 上，且　, ，.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线L过点交椭圆于A、B两点，且点M为线段AB的中点，求直线L的一般方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）8x﹣9y+25=0

【解析】

(1)根据椭圆定义，可求出a的值，在在中，，可得椭圆的半焦距，从而可求出椭圆方程；

(2)设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），当斜率存在时，设直线L的方程为，代入椭圆方程，利用A,B关于点M对称，结合韦达定理，即可得出结果；当斜率不存在时，可直接得出结果.

解：（1）因为点P在椭圆C上，所以，．

在中，，故椭圆的半焦距

从而，

所以椭圆C的方程为。

（2）（i）.当直线L的斜率不存在时，不是线段AB的中点（舍）

（ii）．当直线L的斜率存在时，设为。则直线L的方程为，

代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k﹣27=0．

因为M（-2,1）在椭圆内，所以

设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．则

因为点为线段AB的中点．所以

解得，

所以直线L的方程为，即．