Question

16．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，首项a₁＜0，公差d＞0，$\frac{{S}_{20}}{{a}_{10}}$＜0，则S_n最小时，n=10．

Answer 1

分析 由题意：公差d＞0，等差数列是递增数列，首项a₁＜0，则{a_n}的前n项和为S_n项必有最小值，利用等差数列中p+q=m+n，则a_p+a_q=a_n+a_m性质，S₂₀=$\frac{20（{a}_{20}{+a}_{1}）}{2}$；a₁+a₂₀=a₁₁+a₁₀即可得到答案．

解答 解：∵S₂₀=$\frac{20（{a}_{20}{+a}_{1}）}{2}$=10（a₁+a₂₀）；
根据等差数列中的性质，若p+q=m+n，则a_p+a_q=a_n+a_m．
∴a₁+a₂₀=a₁₁+a₁₀；因此：$\frac{{S}_{20}}{{a}_{10}}=\frac{10（{a}_{10}+{a}_{11}）}{{a}_{10}}$．
∵$\frac{{S}_{20}}{{a}_{10}}$＜0，∴$\frac{{{a}_{10}+a}_{11}}{{a}_{10}}$＜0．
又∵公差d＞0，等差数列是递增数列，∴a₁₀＜a₁₁，
由$\frac{{{a}_{10}+a}_{11}}{{a}_{10}}$＜0⇒$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{10}＜0}\\{{a}_{11}＞0}\end{array}\right.$，即前10项值为负，S₁₀最小，
故答案为：10．

点评 本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，体现了数学转化思想方法，是中档题．