Question

6．如图，P为圆M：（x-$\sqrt{3}$）²+y²=24上的动点，定点Q（-$\sqrt{3}$，0），线段PQ的垂直平分线交线段MP于点N．
（Ⅰ）求动点N的轨迹方程；
（Ⅱ）记动点N的轨迹为曲线C，设圆O：x²+y²=2的切线l交曲线C于A，B两点，求|OA|•|OB|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）|NP|=|NQ|，可得|NM|+|NQ|=|MP|=2$\sqrt{6}$＞2$\sqrt{3}$=|MQ|，故点N的轨迹是以M、Q为焦点，长轴长等于2$\sqrt{6}$的椭圆，且c=$\sqrt{3}$，即得椭圆C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，当切线l垂直坐标轴时，|OA||OB|=4；当切线不垂直坐标轴时，设方程为y=kx+m（k≠0），圆心到直线的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，得m²=2+2k²．直线与椭圆方程联立得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-6=0，得出|OA||OB|=$\sqrt{2}$|AB|，即可求|OA|•|OB|的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵|NP|=|NQ|，∴|NM|+|NQ|=|MP|=2$\sqrt{6}$＞2$\sqrt{3}$=|MQ|，
故点N的轨迹是以M、Q为焦点，长轴长等于2$\sqrt{6}$的椭圆，且c=$\sqrt{3}$，
∴b=$\sqrt{3}$
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）（1）当切线l垂直坐标轴时，|OA||OB|=4；
（2）当切线不垂直坐标轴时，设方程为y=kx+m（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由圆心到直线的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，得m²=2+2k²．
直线与椭圆方程联立得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-6=0．
∴x₁+x₂=-$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-6}{2{k}^{2}+1}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{3{m}^{2}-6-6{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$=0，
∴∠AOB=90°，
∴|OA||OB|=$\sqrt{2}$|AB|，
∵|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\frac{2\sqrt{（1+{k}^{2}）（8{k}^{2}+2）}}{2{k}^{2}+1}$．
令t=k²，则|AB|=2$\sqrt{2+\frac{2}{4t+\frac{1}{t}+4}}$≤3，
当且仅当k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，等号成立，
∴|OA||OB|≤3$\sqrt{2}$，
综上所述，|OA|•|OB|的最大值为3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查韦达定理、基本不等式、直线与圆的位置关系，解题时要认真审题，注意积累解题方法，属于中档题．