Question

14．已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x₁，x₂都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时，f（x）＞0．求证：
（1）f（x）是偶函数；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）若f（3）=1，试解不等式f（x）+f（x-8）≤2．

Answer 1

分析 （1）先计算f（1）=f（-1）=0，再得出f（-x）=f（x）+f（-1），得出结论；
（2）设x₁，x₂是（0，+∞）上的任意两个数，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₁•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=f（x₁）-f（x₁）-f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=-f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0，从而得出结论；
（3）计算f（9）=2，利用函数性质得出f（x²-8x）≤f（9），再根据f（x）的奇偶性和单调性，结合定义域列出不等式组解出．

解答 解：（1）令x₁=x₂=1得f（1）=2f（1），∴f（1）=0，
令x₁=x₂=-1，得f（1）=f2（-1），∴f（-1）=0，
令x₁=-x，x₂=-1，则f（x）=f（-x）+f（-1）=f（-x），
∴f（x）是偶函数．
（2）设x₁，x₂是（0，+∞）上的任意两个数，且x₁＜x₂，则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1．
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₁•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=f（x₁）-f（x₁）-f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=-f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）．
∵当x＞1时，f（x）＞0，∴f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）=-f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）∵f（3）=1，∴f（9）=2f（3）=2．
∵f（x）+f（x-8）≤2，∴f（x²-8x）≤f（9），
又f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≠0}\\{x-8≠0}\\{-9≤{x}^{2}-8x≤9}\end{array}\right.$，
解得-1≤x≤4-$\sqrt{7}$或4+$\sqrt{7}$≤x≤9且x≠0，x≠8．

点评 本题考查了函数单调性，奇偶性的应用，不等式的解法，属于中档题．