Question

7．已知函数f（x）=kx-$\sqrt{4-{x^2}}$+3-2k有两个零点x₁，x₂，则k+|x₁-x₂|的取值范围是$（\frac{5}{12}，\frac{331}{100}]$．

Answer 1

分析 由题意把函数f（x）=kx-$\sqrt{4-{x^2}}$+3-2k有两个零点转化为半圆y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$与直线y=kx-2k+3有两个交点，由此求得k的范围，再利用弦长公式把g（k）=k+|x₁-x₂|转化为含有k的函数，利用导数求得答案．

解答 解：函数f（x）=kx-$\sqrt{4-{x^2}}$+3-2k有两个零点，
则半圆y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$与直线y=kx-2k+3有两个交点，又直线y=kx-2k+3过定点A（2，3），
当直线在AB位置时，斜率k=$\frac{3-0}{2+2}=\frac{3}{4}$，
当直线和半圆相切时，由$\frac{|0-0-2k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，解得k=$\frac{5}{12}$，故k的取值范围是（$\frac{5}{12}$，$\frac{3}{4}$]，
又k+|x₁-x₂|=k+$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，①
则由kx+3-2k=$\sqrt{4-{x^2}}$，两边平方整理得：（1+k²）x²+2k（3-2k）x+4k²-12k+5=0．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2k（3-2k）}{1+{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-12k+5}{1+{k}^{2}}$，代入①，
可得g（k）=k+|x₁-x₂|=$k+\frac{2\sqrt{12k-5}}{1+{k}^{2}}$（$\frac{5}{12}＜k≤\frac{3}{4}$），
利用导数可求得g（k）的取值范围为：$（\frac{5}{12}，\frac{331}{100}]$．
故答案为：$（\frac{5}{12}，\frac{331}{100}]$．

点评 本题考查函数的零点判定定理，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题．