Question

以某些整数为元素的集合P具有以下性质：
（1）P中元素有正数，也有负数；
（2）P中元素有奇数，也有偶数；
（3）-1∉P；
（4）若x，y∈P，则x+y∈P．
试判断数0，2与集合P的关系．

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：集合,推理和证明

分析：判断0∈P，可以根据题设直接推导，利用（4），有x∈P⇒kx∈P，分别用-y与y代替k，由0=xy+（-y）x∈P．
判断2∉P．需要利用反证法，将P中负数分奇偶分别讨论即可．

解答： 解：由（4）可知，x∈P，则kx∈P（k是正整数）．有（1）可设，x，y∈P，且x＞0，y＜0
则xy，（-y）x∈P，因而0=xy+（-y）x∈P．
假设2∈P，则2k∈P．由上面及（4）知，0，2，4，6，8，…均在P中，故2k-2∈P（k是正整数）
不妨令P中负数为奇数-2k+1（k为正整数），由（4），（2k-2）+（-2k+1）=-1∈P，矛盾．
故若2∈P，则P中没有负奇数．若P中负数为偶数，设为-2k（k为正整数），则由（4）及2∈P，
得-2，-4，-6…均在P中，即-2m-2∈P（m为非负整数），则P中正奇数为2m+1，有（4）得，
（-2m-2）+（2m+1）=-1∈P，矛盾．
综上，0∈P，2∉P．

点评：本题考查了集合的元素与集合之间的属于关系，需要反复推理运算，属于中档题．