Question

设a、b是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（　　）

• A、（a+3）²＞2a²+6a+11
• B、

  a+3

  -

  a+1

  ≤

  a+2

  -

  a

• C、|a-b|+

  1

  a-b

  ≥2
• D、a²+

  1

  a2

  ≥a+

  1

  a

Answer 1

考点：不等关系与不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：本题要找出不等式中不恒成立的选项，必须证明命题的否定是真命题，得到正确选项．

解答： 解：（1）∵（a+3）²-（2a²+6a+11）=a²+6a+9-2a²-6a-11=-a²-2＜0，∴（a+3）²＜2a²+6a+11．
与选项A：（a+3）²＞2a²+6a+11 矛盾，
∴A选项恒不成立．
（2）∵

a+3

+

a+1

＞

a+2

+

a

，∴

1

a+3 + a+1

＜

1

a+2 + a

，
∴

a+3 - a+1

2

＜

a+2 - a

2

，
∴

a+3

-

a+1

＜

a+2

-

a

．
∴B选项恒成立．
（3）∵a是正数，
∴a+

1

a

≥2．
∴a2+

1

a2

-(a+

1

a

)=(a+

1

a

)2-(a+

1

a

)-2=(a+

1

a

+1)(a+

1

a

-2)≥0．
∴a2+

1

a2

≥a+

1

a

．
∴D选项恒成立．
（4）当a-b＞0时，|a-b|+

1

a-b

≥2成立，
当a-b＜0时，例如a-b=-1，|a-b|+

1

a-b

=0，|a-b|+

1

a-b

≥2不成立，
∴C选项不恒成立．
故选C．

点评：本题考查的是不等关系，通过基本不等式法、作差法、特殊值法比较两式大小，研究不等式是否恒成立，得出本题结论，本题有一定难度，属于中档题．