Question

设函数f(x)＝2x³－3(a－1)x²＋1，其中a≥1．求函数f(x)的单调区间和极值．

Answer 1

详见解析．

试题分析：（1）先求导数fˊ（x），求出f′（x）=0的值，然后讨论a=1与a＞1两种情形，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，从而的函数f（x）的单调区间；（2）讨论a=1与a＞1两种情形，根据（1）可知f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，从而的函数f（x）的极值．
由已知得f(x)＝6x[x－(a－1)]，令f(x)＝0，解得 x₁＝0,x₂＝a－1，．
（1）当a＝1时，f(x)＝6x²，f(x)在(－∞,＋∞)上单调递增
当a＞1时，f(x)＝6x[x－(a－1)]，f(x),f(x)随x的变化情况如下表：

x	(－∞,0)	0	(0,a－1)	a－1	(a－1,＋∞)
f?(x)	＋	0		0
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

 
从上表可知，函数f(x)在(－∞,0)上单调递增；在(0,a－1)上单调递减；在(a－1,＋∞)上单调递增．
（2）由（1）知，当a＝1时，函数f(x)没有极值．；当a＞1时，函数f(x)在x＝0处取得极大值，在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)³．