Question

已知函数f（x）=2^x+1+k（k∈R），g（x）=2^x-1
（1）若关于x的方程f（x）=g（x）总有实数根，求k的取值范围；
（2）若当x∈（1，+∞）时，f（x）-g（x）＞1恒成立，求k的取值范围；
（3）若函数F（x）=

f(x)

g(x)

是奇函数，判断F（x）的单调性并给予证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）化简方程f（x）=g（x），利用指数函数的图象和性质即可求k的取值范围；
（2）将不等式f（x）-g（x）＞1进行转化，利用指数函数的图象和性质即可求k的取值范围；
（3）根据函数的奇偶性求出k，然后利用分式函数的单调性即可进行判断．

解答： 解：（1）∵f（x）=2^x+1+k（k∈R），g（x）=2^x-1
∴由f（x）=g（x）得2^x+1+k=2^x-1，
即k=2^x-1-2^x+1=2^x-1-2•2^x=-2^x-1，
∵2^x-1＜-1，
∴要使f（x）=g（x）总有实数根，则k＜-1，
即k的取值范围是k＜-1；
（2）∵f（x）-g（x）=2^x+1+k-（2^x-1）=2^x+k+1，
∴由f（x）-g（x）＞1得：
f（x）-g（x）=2^x+1+k＞1，
即k＞-2^x在x∈（1，+∞）时恒成立，
∵当x∈（1，+∞）时，-2^x＜-2，
即k≥2．
（3）F（x）=

f(x)

g(x)

=

2x+1+k

2x-1

=

2?2x+k

2x-1

，
若F（x）=

f(x)

g(x)

是奇函数，
则F（-x）=-F（x），
即

2?2-x+k

2-x-1

=-

2?2x+k

2x-1

，
∴

2+k?2x

1-2x

=-

2?2x+k

2x-1

=

2?2x+k

1-2x

，
即2+k?2^x=2?2^x+k，
解得k=2．
∴F（x）=

f(x)

g(x)

=

2x+1+2

2x-1

，定义域为{x|x≠0}，
∵

2x+1+2

2x-1

=2?

2x+1

2x-1

=2?

2x-1+2

2x-1

=2(1+

2

2x-1

)
∴当x＞0时，y=2^x-1为增函数，且2^x-1＞0，此时y=

2

2x-1

为减函数，∴F（x）=

f(x)

g(x)

=

2x+1+2

2x-1

单调递减．
当x＜0时，y=2^x-1为增函数，且2^x-1＜0，此时y=

2

2x-1

为减函数，∴F（x）=

f(x)

g(x)

=

2x+1+2

2x-1

单调递减．
综上函数F（x）的单调递减区间为（0，+∞）和（-∞，0）

点评：本题主要考查与指数函数有关的基本运算，综合考查函数奇偶性和单调性的应用，考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大．