Question

已知

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

）
（1）若

m

•

n

=1，求cos（

2π

3

+x）的值；
（2）记f（x）=

m

•

n

，在△ABC中，角A、B、C的对边是a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）由条件根据

m

•

n

=1，求得sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，再根据cos（

2π

3

+x）=sin（-x-

π

6

）=-cos（-x-

π

3

）=-cos（x+

π

3

），利用二倍角公式求得它的值．
（2）由（1）可得f（x）=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，由（2a-c）cosB=bcosC，变形化简可得cosB=

1

2

，B=

π

3

．根据f（A）=sin（

A

2

+

π

6

）+

1

2

，以及0＜A＜

2π

3

，利用正弦函数的定义域和值域求得f（A）的范围．

解答： 解：（1）∵已知

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），若

m

•

n

=1，
则有

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos²

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1+cos x 2

2

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

=1，
解得 sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，
∴cos（

2π

3

+x）=sin[

π

2

-（x+

2π

3

）]=sin（-x-

π

6

）=-cos[

π

2

+（-x-

π

6

）]
=-cos（-x-

π

3

 ）=-cos（x+

π

3

）=-[1-2 sin2(

x

2

+

π

6

)]=-1+2×

1

4

=-

1

2

．
（2）由（1）可得f（x）=

m

•

n

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，
∵（2a-c）cosB=bcosC，即2a•cosB=c•cosB+bcosC，
故由正弦定理可得 2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∴cosB=

1

2

，解得 B=

π

3

．
∴f（A）=sin（

A

2

+

π

6

）+

1

2

，根据0＜A＜

2π

3

，可得

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，∴

1

2

＜sin（

A

2

+

π

6

）＜1，
∴1＜f（A）＜

3

2

，即f（A）的范围是（1，

3

2

）．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．