Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），A₁、A₂、B₁、B₂分别为椭圆长轴和短轴的两端点，以F₂为圆心过点A₂的圆与直线A₂B₂相交，弦长为

14

7

a．已知c=2，点P在椭圆上且在x轴上方，若△PF₁F₂为等腰三角形，求△PF₁F₂的面积及对应的P点的坐标．

Answer 1

考点：椭圆的应用

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用以F₂为圆心过点A₂的圆与直线A₂B₂相交，弦长为

14

7

a，根据弦长公式，结合c=2，求出椭圆的方程，利用△PF₁F₂为等腰三角形，分类讨论，即可求△PF₁F₂的面积及对应的P点的坐标．

解答： 解：直线A₂B₂的方程为bx-ay-ab=0，⊙F₂的方程为（x-2）²+y²=（a-2）²，
F₂到直线A₂B₂的距离d=

|2b-ab|

a2+b2

，
∵弦长为

14

7

a，
∴

14

7

a=2

(a-2)2- (2b-ab)2 a2+b2

，
∴b²=13a²-56a+56①
∵b²=a²-4，②
①②可得3a²-14a+15=0，
∵a＞c，
∴a=3，
∴b=

5

，
∴椭圆方程为

x2

9

+

y2

5

=1③；
当F₁F₂=PF₁时，（x+2）²+y²=16④，
联立③④得P₁（

1

2

，

15

2

）；
当F₁F₂=PF₂时P₂（-

1

2

，

15

2

）；
当F₁P=PF₂时P₃（0，

5

），
S₁=S₂=

1

2

|F₁F₂||y_P|=

1

2

×4×

15

2

=

15

；
S₃=

1

2

|F₁F₂|b=

1

2

×4×

5

=2

5

．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，确定椭圆的方程是关键．