Question

如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…

则前n个图形的边数的总和为

 

．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：等差数列与等比数列,推理和证明

分析：记第n个图形的边数为a_n，根据图形得到，a₁=3，a₂=12，a₃=48，由题意知：每一条边经一次变化后总变成四条边，即

an

a   n-1

=4，由等比数列的定义，可求第n个图形的边数a_n，进而得到前n个图形的边数的总和

解答： 解：∵a₁=3，a₂=12，a₃=48，由题意知：每一条边经一次变化后总变成四条边，即

an

a   n-1

=4，
由等比数列的定义知：a_n=3×4^n-1
故前n个图形的边数的总和为：

3(1-4n)

1-4

=4ⁿ-1，
故答案为：4ⁿ-1

点评：本题的肯定是数列的应用，主要考查对图形的阅读能力，考查数列模型的建立，考查等比数列的通项公式和前n项和公式．