Question

18．过原点的直线与椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1交于A、B两点，F₁，F₂为椭圆的焦点，则四边形AF₁BF₂面积的最大值是8．

Answer 1

分析 当A在耦园短轴端点处时，S${\;}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}$的面积最大，最大值为$\frac{1}{2}×2c×b=bc=4$可得四边形AF₁BF₂面积的最大值是8．

解答 解：可得b=2，c=2，
如图则四边形AF₁BF₂面积S=2S${\;}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}$
当A在耦园短轴端点处时，S${\;}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}$的面积最大，最大值为$\frac{1}{2}×2c×b=bc=4$
∴四边形AF₁BF₂面积的最大值是8．
故答案为：8．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查椭圆的定义的应用，考查计算能力，属于中档题．