Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²（n∈N^*），数列{b_n}是各项均为正数的等比数列，b₁=1，b₅=16．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=

an

bn

，求证：数列{c_n}的前n项和T_n≥1．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，n=1时，a₁=S₁=1，满足上式，由此求出a_n=2n-1（n∈N^*）．由b₅=b₁q⁴=q⁴=16，b_n＞0，求出b_n=2^n-1（n∈N^*）．
（2）由c_n=

an

bn

=

2n-1

2n-1

，利用错位相减法求出Tn=6-

2n+3

2n+1

，n∈N^*．由此能证明T_n≥1．

解答： （1）解：n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
n=1时，a₁=S₁=1，满足上式，
∴a_n=2n-1（n∈N^*）．
∵b₅=b₁q⁴=q⁴=16，b_n＞0，∴q=2，
∵b₁=1，∴b_n=2×2^n-1=2^n-1（n∈N^*）．
（2）证明：∵c_n=

an

bn

=

2n-1

2n-1

，
∴T_n=

1

20

+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

．①

1

2

Tn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+

7

24

+…+

2n-1

2n

，②
①-②，得：

1

2

Tn=2+2•(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

)-

2n-1

2n

=2+2×

1 22 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n

=3-

2n+3

2n

，
∴Tn=6-

2n+3

2n+1

，n∈N^*．
∵Tn+1-Tn=[6-

2(n+1)+3

2n

]-(6-

2n+3

2n-1

)
=-

2(n+1)+3

2n

+

2n+3

2n-1

=

-(2n+5)+4n+6

2n

=

2n+1

2n

＞0．
又T₁=1，∴T_n≥1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和大于等于1的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．