Question

某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．
（1）求f（5）的值；
（2）利用合情推理归纳出f（n+1）与f（n）的关系，并求f（n）的表达式；
（3）求证：

1

f(1)

+

1

f(2)+3

+

1

f(3)+5

+…+

1

f(n)+2n-1

＜

3n-1

2n

．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理,反证法与放缩法

专题：规律型,等差数列与等比数列

分析：（1）先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，…从而得出f（5）；
（2）将（1）总结一般性的规律：f（n+1）与f（n）的关系式，再从总结出来的一般性的规律转化为特殊的数列再求解即得．
（3）由

1

f(n)+2n-1

=

1

2n2

利用放缩法可证得：

1

f(1)

+

1

f(2)+3

+

1

f(3)+5

+…+

1

f(n)+2n-1

＜

3n-1

2n

．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，
∴f（2）-f（1）=4=4×1．
f（3）-f（2）=8=4×2，
f（4）-f（3）=12=4×3，
f（5）-f（4）=16=4×4
∴f（5）=25+4×4=41．…（4分）
（Ⅱ）由上式规律得出f（n+1）-f（n）=4n．…（8分）
∴f（2）-f（1）=4×1，
f（3）-f（2）=4×2，
f（4）-f（3）=4×3，
…
f（n-1）-f（n-2）=4•（n-2），
f（n）-f（n-1）=4•（n-1）…（10分）
∴f（n）-f（1）=4[1+2+…+（n-2）+（n-1）]=2（n-1）•n，
∴f（n）=2n²-2n+1．…（12分）
（3）∵f（n）+2n-1=2n²，
∴

1

f(n)+2n-1

=

1

2n2

 
∴

1

f(1)

+

1

f(2)+3

+

1

f(3)+5

+…+

1

f(n)+2n-1

=1+

1

2

（

1

2×2

+

1

3×3

+…+

1

n×n

）
＜1+

1

2

[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

]
=1+

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）
=1+

1

2

（1-

1

n

）
=

3n-1

2n

．

点评：本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，若求解的项数较少，可一直推理出结果，若项数较多，则要得到一般求解方法，再求具体问题．