Question

已知函数f（x）=

3

sinxcosx-

1

2

cos2x，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足2bcosA=2c-

3

a，求f（B）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=sin（2x-

π

6

），可得周期；
（2）结合已知由余弦定理可得cosB=

3

2

，B=

π

6

，代入f（B）计算可得．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

sinxcosx-

1

2

cos2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

）
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）∵2bcosA=2c-

3

a，
∴2b

b2+c2-a2

2bc

=2c-

3

a，
整理得a²+c²-b²=

3

ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3

2

∵0＜B＜π，∴B=

π

6

，
∴f（B）=sin（2×

π

6

-

π

6

）=sin

π

6

=

1

2

点评：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和解三角形，属中档题．