Question

已知f（x）=-2asin（2x+

π

6

）+2a+b，
（1）求f（x）的周期
（2）若a＞0，求f（x）的最大值，并求出取得最大值时的x的集合．
（3）若x∈[

π

4

，

3π

4

]，是否存在常数a、b∈Q，使得f（x）的值域为{y|-3≤y≤

3

-1}？若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值

分析：（1）根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期为

2π

ω

，求得结果．
（2）由条件根据正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最大值以及取得最大值时的x的集合．
（3）由x∈[

π

4

，

3π

4

]，可得sin（ 2x+

π

6

）∈[-1，

3

2

]．分①当a＞0时、②当a＜0时两种情况分别求得a、b的值，从而得出结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=-2asin（2x+

π

6

）+2a+b，∴T=π．
（2）∵a＞0，∴f（x）_max=-2a×（-1）+2a+b=4a+b．
由2x+

π

6

=2kπ-

π

2

，k∈Z，解得x=kπ-

π

3

，k∈Z，
∴取得最大值时的x的集合为：{x|x=kπ-

π

3

，k∈Z}．
（3）存在a=-1，b=1，满足条件．
∵x∈[

π

4

，

3π

4

]，∴2x+

π

6

∈[

2π

3

，

5π

3

]，
∴sin（ 2x+

π

6

）∈[-1，

3

2

]．
若存在这样的有理数a、b，则
①当a＞0时，

- 3 a+2a+b=-3 2a+2a+b= 3 -1

，这不可能；
②当a＜0时，

2a+2a+b=-3 - 3 a+2a+b= 3 -1

，解得a=-1，b=1，
故存在a=-1，b=1，满足条件．

点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、最值、定义域和值域，属于中档题．