Question

椭圆

x2

45

+

y2

m

=1（0＜m＜45）的焦点分别是F₁和F₂，已知椭圆的离心率e=

5

3

，过椭圆的中心O作直线与椭圆交于A，B两点，O为原点，若△ABF₂的面积是20，求：
（1）m的值
（2）直线AB的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知e=

c

a

=

5

3

，a=

45

=3

5

，由此能求出m的值．
（2）根据题意S△ABF2=S△F1F2B=20，设B（x，y），则S△F1F2B=

1

2

•|F1F2||y|，|F₁F₂|=2c=10，由此能求出直线AB的方程．

解答： 解：（1）由已知e=

c

a

=

5

3

，
a=

45

=3

5

，解得c=5，
∴m=b²=a²-c²=45-25=20
（2）根据题意S△ABF2=S△F1F2B=20，
设B（x，y），则S△F1F2B=

1

2

•|F1F2||y|，
|F₁F₂|=2c=10，
∴y=±4，把y=±4代入椭圆的方程

x2

45

+

y2

20

=1，解得x=±3，
∴B点的坐标为（±3，±4），
∴直线AB的方程为y=

4

3

x或y=-

4

3

x．

点评：本题考查椭圆中参数的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．