【题目】设函数为奇函数,
为常数.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)若对于区间上的每一个
值,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
,
;(Ⅲ)
.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)利用即可求解出
的值;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
利用单调性的定义法证明在定义区间
上为单调递增,又因为为奇函数,所以在其对称区间
为单调递增;(Ⅲ)因为
在
上恒为正,所以采用参数分离的方法,构造新的函数
,进而求出
的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)为奇函数,
∴对定义域内的任意
都成立.
即对定义域内的任意
都成立.
∴,∴
,
∴,∴
,
解得或
(舍去),所以
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,则函数
的定义域为
.
任取,设
,则
,
∴函数为增函数,∴
在
上为增函数,
同理函数在
也为增函数.
所以函数的单调增区间为
,
.
(Ⅲ)由题意知不等式在
上恒成立,
即不等式在
上恒成立.
令函数,由(Ⅱ)知函数
在
上是增函数,
∵函数在
上是减函数,∴函数
在
上是增函数,
∴.
所以的取值范围为
.
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【题目】已知函数的图像是由函数
的图像经如下变换得到:先将
图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图像向右平移
个单位长度.
(Ⅰ)求函数的解析式,并求其图像的对称轴方程;
(Ⅱ)已知关于的方程
在
内有两个不同的解
.
(1)求实数m的取值范围;
(2)证明:
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【题目】在平面直角坐标系中,过点
的直线与抛物线
相交于点
、
两点,设
,
.
(1)求证:为定值;
(2)是否存在平行于轴的定直线被以
为直径的圆截得的弦长为定值?如果存在,求出该直线方程和弦长,如果不存在,说明理由.
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【题目】北京市为了缓解交通压力,计划在某路段实施“交通限行”,为调查公众对该路段“交通限行”的态度,某机构从经过该路段的人员中随机抽查了80人进行调查,将调查情况进行整理,制成下表:
年龄(岁) | ||||
人数 | 24 | 26 | 16 | 14 |
赞成人数 | 12 | 14 | 3 |
(1)若经过该路段的人员对“交通限行”的赞成率为0.40,求的值;
(2)在(1)的条件下,若从年龄在,
内的两组赞成“交通限行”的人中在随机选取2人进行进一步的采访,求选中的2人中至少有1人来自
内的概率.
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【题目】已知三次函数,下列命题正确的是 .
①函数关于原点
中心对称;
②以,
两不同的点为切点作两条互相平行的切线,分别与
交于
两点,则这四个点的横坐标满足关系
;
③以为切点,作切线与
图像交于点
,再以点
为切点作直线与
图像交于点
,再以点
作切点作直线与
图像交于点
,则
点横坐标为
;
④若,函数
图像上存在四点
,使得以它们为顶点的四边形有且仅有一个正方形.
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【题目】已知函数(
为常数,
),且数列
是首项为2,公差为2的等差数列.
(1)若,当
时,求数列
的前
项和
;
(2)设,如果
中的每一项恒小于它后面的项,求
的取值范围.
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