【题目】已知函数.
⑴当,求函数
在区间
上的极值;
⑵当时,函数
只有一个零点,求正数
的值.
【答案】(1) 在区间
上只有极大值,无极小值,且
; (2)
.
【解析】
试题分析:(1)当时,求函数
的导数,在区间
研究导数的符号及函数
的单调性,即可求函数
的极值;(2)函数
只有一个零点,等价于方程
只有一个实数解,即
只有唯一正实数解,构造函数
,求其导数,由导数讨论函数
的单调性与极值,即可求
的值.
试题解析: (1)当时,
,
由得
,
当时,
上单调递增,
当时,
上单调递减,
上只有极大值,无极小值,且
(2)只有一个零点,等价于方程
只有一个实数解,即
只有唯一正实数解.设
,则
,令
,
解得:
…7分
当时,
在
上单调递减;
当时,
在
上单调递增;
.
要使得方程只有唯一实数解,
则,得
,
设恒成立,故
在(0,+∞)单调递增,
至多有一解.又
,
∴,即
解得
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某志愿者到某山区小学支教,为了解留守儿童的幸福感,该志愿者对某班40名学生进行了一次幸福指数的调查问卷,并用茎叶图表示如下(注:图中幸福指数低于70,说明孩子幸福感弱;幸福指数不低于70,说明孩子幸福感强).
(Ⅰ)根据茎叶图中的数据完成列联表,并判断能否有
的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关?
(Ⅱ)从15个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样,共抽取5人,又在这5人中随机抽取2人进行家访,求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率.
参考公式: ; 附表:
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了解某校学生的视力情况,现采用随机抽样的方式从该校的两班中各抽5名学生进行视力检测,检测的数据如下:
班5名学生的视力检测结果是:
.
班5名学生的视力检测结果是:
.
(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪个班的学生视力较好?并计算班的5名学生视力的方差;
(2)现从班上述5名学生中随机选取2名,求这2名学生中至少有1名学生的视力低于
的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知分别是直线
和
上的两个动点,线段
的长为
,
是
的中点.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)若过点(1,0)的直线与曲线
交于不同两点
.
①当时,求直线
的方程;
②试问在轴上是否存在点
,使
恒为定值?若存在,求出
点的坐标及定值;若不存在,请说明理由.
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